Завдання 5
Піфагор був не лише великим математиком, а й філософом. Основна ідея його філософії: «Початком усього є числа». Числа за своєю природою – обмежуючі і не обмежуючі. Без них нічого б не було і не було б порядку, гармонії. Отже, той, хто хоче пізнати всі речі, повинен зрозуміти природу числа і гармонію чисел.
Велику увагу піфагорійці приділяли дослідженню прямокутних трикутників, сторони яких визначаються цілими числами. Найпростіший з таких трикутників, так званий єгипетський трикутник з сторонами 3, 4, 5, був відомий Піфагору ще з часів його подорожі до Єгипту. Прямокутний трикутник піфагорійці вважали найкращою і найдосконалішою фігурою.
А числа 3, 4, 5 стали називати піфагорова трійка. Існує 16 таких примітивних піфагорович чисел.
1. Назвіть одну піфагорову трійку. (1 бал)
Серед нескінченої множини чисел піфагорійці вишукували ті, котрі мали особливе значення. Серед найбільш значимих для них чисел були так звані «досконалі» числа (числа, сума дільників яких точно рівна самому числу).
Наприклад, число 6 має дільниками 1, 2 і 3 і, значить, воно досконале, так як 1+2+3=6.
2. Назвіть одне «досконале число» (1 бал)
Виявляється, досконалі числа завжди дорівнюють сумі декількох послідовних натуральних чисел. Наприклад, 6=1+2+3.
3. Перевірте вказане вами «досконале число» на цю властивість (1 бал)
Вивчаючи властивості чисел, піфагорійці першими звернули увагу на закони їх подільності. Вони розбили всі числа на парні – «чоловічі» (їх ще називали злі числа), і непарні – «жіночі» (добрі числа), і , що дуже важливо, на прості і складені.
Два числа, які мають ту властивість, що сума дільників кожного з них дорівнює іншому, називалися «дружніми».
4. Які числа називають «дружніми»? Назвіть одне з таких чисел. (2 бала)
5. Піфагорійці називали одні числа «плоскими», інші – «тілесними», а треті – лінійними. Що це за числа? (2 бала)
6. Число 36 справило сильне враження на піфагорійців своїми властивостями. Вкажіть ці властивості (1 бал)
Давайте згадаємо геометричні фігури, їх побудову: правильні многогранники (тетраедр, октаедр, ікосаедр, гексаедр). Так, як це особливі фігури, незвичайні, тому їм надано було містичного значення. Вони вважалися «космічними фігурами» і кожній із них було присвоєне найменування однієї зі стихій, що складали, на думку греків, основу буття: вогню, повітря, землі й Усесвіту.
7. Яке геометричне тіло піфагорійці вважали найчарівнішою? (1 бал)
8. Піфагорійці знайшли ще одну властивість непарних чисел. В чому вона полягає? (1 бал)
Всього за Завдання 5 ви зможете отримати 10 балів.